Desafios matemáticos valendo sete milhões de dólares

O Clay Mathematics Institute,
sediado em Boston, organizou o Millenium Meeting que ocorreu, em maio de 2 000, na cidade de Paris. O objetivo desse encontro era celebrar a entrada do novo milênio, anunciando prêmios para a resolução de alguns problemas que tem grande chance de nortearem o desenvolvimento da Matemática no século XXI.

Foram selecionados sete problemas, a cada um sendo dotado um premio de um milhão de dólares pela resolução, de acordo com regras minuciosamente descritas e que podem ser consultadas no site da American Mathematical Society.

Esses problemas são bem conhecidos da comunidade matemática. Por ordem de antiguidade:

Resolução das equações de Navier-Stokes ( c. 1830 )
Hipótese de Riemann ( 1859 )
Conjectura de Poincaré ( 1904 )
Conjectura de Hodge ( 1950)
Resolução das equações de Yang-Mills ( 1950 )
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer ( 1965 )
Problema P versus NP ( 1971 )

Como seria de se esperar, vários desses problemas são de formulação bem técnica, em muito ultrapassando os conhecimentos de Matemática Elementar, o tema deste site.

Contudo, temos algumas exceções como é o caso de um dos mais antigos desses problemas: a Conjectura de Poincaré.
De um modo simplificado, ela afirma que todo objeto limitado, sem "buracos" e com fronteira lisa pode ser deformado continuamente numa esfera. É fácil verificarmos isso para o caso de objetos concretos do espaço euclidiano tri-dimensional, como caixas e cilindros fechados ( um exemplo de objeto NAO incluído na conjectura é uma xícara; com efeito é fácil vermos que o buraco envolvido pela alça NAO desaparece com deformações contínuas da xícara; vendo de outro modo: SE a xícara não tivesse alça seria fácil deformá-la até uma esfera ).
A prova rigorosa - para o caso de três dimensões - foi dada próprio Poincaré. Contudo, mesmo depois de quase cem anos de esforços, ainda não se conseguiu fazer o mesmo para o caso de objetos do espaço euclidiano a quatro dimensões.

Outro aspecto interessante da lista é que inclui tanto problemas que parecem não ter nenhuma aplicabilidade, fora da Matemática, como problemas de imensa importância tecnológica. Por exemplo, o Problema "P versus NP" é de enorme relevância em campos que vão desde a Engenharia até a criptografia aplicada aos serviços militares e às transações comerciais e financeiras via Internet.

Esse problema, incidentalmente, é um outro que tem uma formulação fácil de ser entendida. De modo simplificado, ele pergunta se existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada em tempo prático ( por exemplo, em tempo polinomial ) MAS que não podem ser resolvidos ( diretamente, sem se ter um candidato à solução ) em tempo prático. Ilustrando: se alguém lhe disser que o número 13 717 421 pode ser escrito como o produto de dois outros inteiros, V. provavelmente demorará para provar isso; contudo, se lhe assoprarem que ele é o produto de 3 607 por 3 803, V. seria capaz de muito rapidamente verificar tal fato.

O problema "P versus NP" parte da constatação que são muito frequentes as situações em que parece ser muito mais rápido verificar solução do que achar um processo de resolução, e então pergunta: isso sempre ocorre, ou simplesmente ainda não descobrimos um modo de resolvê-los rapidamente?

Para uma discussão mais desenvolvida, mas ainda evitando tecnicalidades, sobre o Problema "P versus NP", V. pode visitar nossa página sobre o um outro problema clássico: O Problema do Caixeiro Viajante.

Quantas dimensões a física conhece?

por Victor Bianchin; Marina Motomura

Oficialmente, apenas quatro, mas há teorias que sugerem até dez dimensões. Uma das correntes científicas que defendem as dez dimensões é a Teoria das Supercordas, que afirma que as dez dimensões interagiriam entre si como as cordas de um violino. Mas tudo fica só na especulação: os próprios cientistas admitem que, com a tecnologia - atual, ainda não é possível comprovar as dez dimensões.

Os dez mandamentos
Na Teoria das Supercordas, dimensões vão de uma simples reta até um conjunto de big-bangs

1. Antes da primeira dimensão, existe a dimensão zero, que é apenas um ponto. A conexão entre dois pontos forma a primeira dimensão, que é uma reta. Nosso conceito de largura vem dessa conexão entre os pontos

2. O plano é a segunda dimensão. Para ser bidimensional, um objeto precisa de dois valores numéricos (correspondentes aos nossos conceitos de largura e comprimento) para ser situado, porque ele tem dois eixos

3. A terceira dimensão é o espaço. Para um objeto, isso significa ganhar profundidade e se tornar tridimensional, ou seja, ser dono de três valores numéricos que o situem (largura, comprimento e profundidade)

4. A quarta dimensão é a duração ou o tempo. Ela é a linha que leva cada ser quadrimensional (como nós, seres humanos) do começo (eu bebê) ao final da existência (eu velhinho). Nós não percebemos essa dimensão, por isso não podemos voltar ou avançar no tempo para ver nossos "eus" passados e futuros

5. Na quarta dimensão, a cada momento, uma série de variáveis define o que seremos no instante seguinte. A versão que fica (o eu "normal") é apenas uma entre infinitas que poderiam rolar (como o "eu viking", "eu pirata" e "eu palhaço"). A quinta dimensão é o conjunto de todas essas versões

6. A sexta dimensão é o caminho entre as possibilidades da 5D. Seria como se todas as suas infinitas versões estivessem dispostas em um plano, como uma folha, e você pudesse dobrar essa folha, encostando um lado (o "eu normal", por exemplo) em outro lado (como o "eu viking")

7a. Os vários "eus" possíveis da 6D estão dentro de um universo. A sétima dimensão pega o conceito de linha temporal da 4D e aplica a todo esse universo, traçando uma linha do tempo que começa no big-bang, evento que teria dado início a tudo

7b. Mas não é só: a sétima dimensão também diz que, assim como cada um de nós, o universo também pode ter várias versões, e estabelece que existem universos alternativos ao nosso, originados do mesmo big-bang

7c. O "nosso" big-bang é apenas uma possibilidade. Podem existir outros big-bangs diferentes que podem ter dado origem a outros universos, os quais também podem ter infinitas versões. A 7D reúne todos os big-bangs e todos os infinitos universos possíveis

8. Imagine que cada uma dessas bolinhas da imagem acima é um dos big-bangs (com seus respectivos universos derivados) existentes na sétima dimensão. A oitava dimensão é um vértice, um ponto de intersecção a partir do qual se pode chegar a qualquer uma das "bolinhas"

9. Partindo da figura da 8D, imagine que o vértice é um ponto onde o plano formado antes pode ser dobrado. A nona dimensão nada mais é do que uma dobra nesse plano, para encostar um big-bang no outro e permitir viajar entre eles - como as viagens entre os "eus" na 6D

10. A décima dimensão é o conjunto de todos os caminhos para todos os big-bangs, que dão origem a todos os universos. Imagine pegar todas as nove dimensões e juntar tudo num pontinho. Essa é a décima dimensão - o fim do caminho, de onde não há mais para onde ir

Como desmontar frações

Quando a Matemática era ensinada com prazer e os bons professores estimulavam os alunos com descobertas lúdicas, "contar ladrilhos" ajudava a entender operações com frações. Veja como a tabuada de multiplicar fica mais fácil.

Por Luiz Barco

1. Associar a multiplicação às áreas de um retângulo permite uma consistente aplicação da Aritmética. Três colunas de dois ladrilhos, como mostra o conjunto destacado ao lado, são seis ladrilhos, ou seja 2 x 3 = 6.

2. Só que outro dia uma professora primária me pediu um jeito de explicar porque, para se multiplicar frações, faz-se diretamente a multiplicação dos numeradores e denominadores, enquanto a adição tem todo aquela complicação de achar o mínimo múltiplo comum. Achei que uma boa justificativa geométrica, aplicada às frações, resolveria. A explicação é muito interessante. Preste atenção.

3. Pegue um quadrado unitário e marque nele a fração 2/3 (isto é, divida-o em 3 partes equivalentes e tome 2 dessas partes). O retângulo pintado representa 2/3 da unidade. Repare que ele tem comprimento igual a 1 e largura de 2/3 da unidade.

4. Faça o mesmo com a fração 4/7 da unidade.

5. Sem pintura, mas mantendo as divisões, faça a fusão das duas imagens deslizando um quadrado sobre o outro. A seguir, marque os 2/3 com bolinhas e os 4/7 com um pequeno x.

6. Repare que fica marcado, pela bolinha e pelo x, o retângulo cujo comprimento é 4/7 da unidade e cuja largura é 2/3 da unidade. É razoável pensar que a área seja 2/3 x 4/7.

7. Ora! Se voltarmos ao quadrado grande, vamos verificar que ele foi dividido em 21 partes (3 linhas com 7 colunas cada uma). É portanto correto pensarmos em 1/21 (cada pedacinho). Desses, temos somente 8 (2 linhas com 4 colunas) com as duas marquinhas, isto é: o retângulo em destaque, 2/3 x 4/7, é de fato 8/21 do quadrado unitário. Assim, fica fácil definir:

Luiz Barco, professor da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) matematica@abril.com.br

Algumas das mais antigas frações conhecidas estâo no Papiro Rhind, feito no Egito, no século XVII a.C., hoje no Museu Britânico, em Londres. Ele contém uma tábua de frações destinadas a resolver operaçôes de divisão mais a solução de 84 problemas de Aritmética e Geometria.

A jovem professora tem aí uma maneira de justificar aos seus alunos a multiplicação de frações. É claro que isso é apenas uma justificativa e não uma prova com o rigor que satisfaça a um purista, mas que a criançada entende, ah!, isso entende. Os livros didáticos mostram, quando ocorre essa operação matemática, uma justificativa algébrica (na minha opinião, bem mais abstrata), mas creio que o professor deve valer-se também dela. Acredito que o ver (não apenas com os olhos) antecede o abstrair. Ambos são importantes. Por isso, espero que o exemplo acima seja exaustivamente explorado pela professora e seus alunos até que todos considerem natural misturar a multiplicação com a área de um retângulo.

Agora é com você. Ache uma maneira geométrica de justificar a adição 2/3 + 4/7. Brinque com as figuras e com o que elas significam (em frações). Mesmo que não consiga chegar a uma solução, você passará algum tempo sem pensar em impostos, governantes e sindicatos e deixará a mente fluir. Perçeba que o mundo é mais simples do que em geral se pensa e que as pessoas são mais complicadas do que talvez devessem.

Fractais, ciência e artes misturadas

A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana. Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes, na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia, matemática e outras. Os fractais foram nomeados - ao invés de descobretos ou inventados - no início dos anos 80 por Benoît Mandelbrot, o "pai dos fractais", para classificar certos objetos intrincados que não possuem dimensão inteira (1, 2 ou 3) mas sim fracionária (dimensão 1,85 por exemplo).
Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa "irregular" ou "quebrado".
Uma primeira definição, pelo próprio Mandelbrot, diz: - "Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica". No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.
Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria: auto-semelhança e complexidade infinita.
Distante do rigor e do formalismo matemático, pode-se definir Fractais, como nos ensinam alguns estudiosos da área: "Objetos que apresentam auto-semelhança e complexidade infinita, ou seja, têm sempre cópias aproximadas de sí mesmo em seu interior."
A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não pode ser utilizada as geometrias tradicionais. "Núvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta." - Benoit Mandelbrot